多媒体辅助数学教学设计

 浙江省温州实验中学    谷曼丹

现代信息技术的发展对数学教育的价值，目标，内容以及学与教的方式产生了重大的影响①，正如比尔·盖茨所说的“你的工作场所和你关于教育的观念将被改变，也许改变的面目全非。”随着数学课程改革的深入，越来越多的人探索如何利用计算机技术，改革和优化课堂教学？如何将现代教育技术和现代教育理论相结合来服务于课堂教学？如何寻找现代教育技术与教学实践的切入点等？本文以课例分析的形式探讨以上问题。

1． 教学过程设计

教学内容：质点运动探索性问题

教学目标：

知识目标：

1. 了解质点运动变化探索问题的类型

2．  学会探索质点运动的一般规律，结合函数等思想进行数形转换。

能力目标：培养学生动手操作实验，发现问题，探究问题，解决问题的能力，通过动静互换，进一步培养学生合情推理，分类讨论的能力，使学生能够应用所学知识解决问题。

情感目标：在探究过程中渗透函数思想，数形转化思想和数学建模思想，与此同时培养学生科学的辨证思想。

教学过程如下：

1.1设置情境,提出问题

（1）动手实验

每个学生有一张等腰三角形纸片，腰长为5cm,底边长为6cm。

要求：在三角形内设计一个面积最大的内接矩形。

(教师提问,学生借助模型思考,开启电脑,展示问题.)

（2）结果比较

通过几个学生的实验结果比较，引导学生思考当质点在运动变化时，哪些元素也随之变化？

（3）引出课题

问题设计:

    由点D在AB上位置的变化,引起了其他哪些元素的变化?

(运用计算机在等腰三角形的一腰AB上随机取点，引导学生思考由点D的运动引起线段DP的变化，由线段DP的变化引起矩形的面积变化，从而引出课题)

通过说明运动变化探索性问题的概念(随着图形中的某一元素的移动变化，探索结论变化的一类探索性问题，称为运动变化探索性问题②)引出由质点的运动变化探索结论变化的一类探索性问题，称为质点的运动变化探索性问题。

(从实验入手,运用计算机多媒体的直观演示,培养学生解决实际问题的能力.提出问题后,并不急于解决,而是让学生带着问题探索此类问题的规律.“学起于思，思起于疑”,这样充分调动学生情绪,激发学生学生学习的主动性和积极性，又很自然地引出课题)

1.       2演示启发,探究规律

(1)    探索活动一

例1：如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G.

(1)当点P在弧AB上运动时，线段GO,         

GP,GH中，有无长度保持不变的线段？

如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；             

(2)设PH=x,GP=y，求y关于x的函数解析式，          

并写出自变量x的取值范围.                            

解法略

例1的探索分以下步骤进行:

(1)    电脑演示,探求由点P的运动引起了哪些元素的变化,哪些元素不变？

(2)    第一问探求长度不变的线段,引导学生思考在质点的运动过程中,是否存在不变量?电脑再次演示,引导学生观察不变量是圆的半径.通过已知的重心,直角三角形等性质得出线段GH的长度是不变的,并求出其长度.

(通过多媒体动态演示，鼓励学生大胆猜想，并从问题的信息中找到切入点即寻找不变量，初步体会质点动静互换。)

(3)    第二问探求y与x之间的函数关系式，强调数形结合，通过添置辅助线——延长PG交OB于点P，沟通所求线段PH与GP之间的等量关系，从而转化成函数关系式；而自变量x的取值范围，强调质点运动的特殊位置，由此探讨出结论。

(电脑演示添置辅助线,通过添置辅助线，构造了直角三角形，沟通了y与x之间的关系

从而体现了数形结合的思想和函数思想。

（2）小结规律一: 动中观静

所谓的”静”指的是问题中的不变量,动中观静就是抓住质点运动变化探索性问题中的不变性,以不变应万变,迅速把握问题实质.

(及时的小结体现了教学的层次性原则，把重点分散，逐步落实，符合全面性原则。)

(3)探索活动二:

例2：如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°,AB=8厘米,AD=24厘米,BC=26厘米,AB是⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边以1厘米/秒的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米/秒的速度运动。P,Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t秒。

求：t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相交、相离？                        

例2的探索分以下步骤进行:

①通过电脑演示首先令学生明确将质点P,Q的运动统一到直线PQ的运动中.其次探求时间t对直线PQ与⊙O的位置关系的影响，由学生说明按照时间顺序直线PQ与⊙O的位置关系。

②在肯定了学生的思考后,教师再利用电脑演示请学生思考t的取值范围,并说明理由.

 (以布鲁纳的发现学习理论为指导，利用电脑形象地指示问题的发生过程，使学生在观看动画的感性认识上进行理性思考，为形象思维到抽象思维过渡架起了桥梁，体现了教学的直观性原则。)

③教师第三次电脑演示,请学生思考从哪一种位置关系切入最直接?在肯定了先求出“直线PQ与⊙O相切”的t值的思路后,电脑演示相切位置,利用数形转化思想和方程思想,师生共同求出相切时的t值.

④解决了静态下的位置关系，引导学生从静态转到动态分段思考直线PQ运动时与⊙O的位置关系，从而得到其他两个问题的答案。

(在求特殊的t值过程中渗透转化思想和数形结合思想,而另两种位置关系的解决思路使学生体会了从特殊到一般科学的辨证思想。)

(4)小结规律二：动静互换

动和静是互相矛盾的两个方面，它们在一定条件下互相转化，灵活地进行。当碰到动态问题时，要善于动中取静，先把动态问题转化为静止状态来解决，由一般到特殊，再由静到动，由特殊到一般，动静互相转化则能收到意想不到的效果。

(5)深化重点:

动和静是对立的，有时又是统一的。无论质点运动变化的哪一类问题，都是真实地反映了现实世界中数形的变与不变的两个方面，从辨证的角度去观察，探索，研究此类问题。

(例1，例2的探索活动展现了质点运动探索性问题的两种不同的解决思路，而边探索边小结既符合学生的认知规律，又逐步建构了知识系统，深化了教学重点。)

1.3学以致用,解决问题

在等腰△ABCAB=BC=5cm,BC=6cm. 点D在AB上运动，过点D做△ABC的内接矩形DPQE，使得矩形PQED                                                              

的一条边在BC上,顶点D, E,分别                         

在边AB,AC上.设PD=xcm                        

求: (1)矩形PQED的面积S关于X的函数解析式   

     及求自变量x 的取值范围.             

(2)当X为何值时, 矩形PQED的面积S最大,  

最大值是多少?                         

(请一个学生上台进行电脑演示,由学生应用之前的规律解决问题,从而体会数学来源于实践,又作用于实践. 建构主义者设计教学的依据是“在问题中学习”，通过实际问题的解决，使学生不仅学以致用，而且体会到成功的喜悦，更能激发学生对学习活动的持续关注，使学生处于学习活动的核心。)

1.4操作实验,应用举例

例3：有一边长为5cm的正方形ABCD与等腰△PQR，PQ=PR=5cm,QR=8cm。点B,C,Q,R在同一直线l上，当C,Q两点重合时，等腰△PQR以1厘米/秒的速度沿直线l按前头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR的重合部分的面积为S ，解答下列问题：

（1）       当t=3秒时，求s的值

（2）       当t=5秒时，求S的值

（3）       当 秒时，求S与t的函数关系式，并求S的最大值。

例3教学设计如下:

(1)    教师利用电脑演示等腰三角形的的运动过程,学生观察重叠部分形状的变化.在此过程中,使学生明确本题的关键通过了解图形的动静交替,通过常量和变量的交替转化,从而求出不同t在不同时刻的面积S.

问题设计:

(1)    在等腰△PQR以1厘米/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动的过程中,重叠部分图形的形状有哪几种变化?

(2)    请用自己手中的模型,验证自己的观察结果,说明不同形状下的t的取值范围.

(先借助多媒体动态演示，学生观察,使三角形的运动和重叠图形形状的变化变抽象为直观，使难点分散，易于理解。学生在感性认识的基础上，通过动手实验,根据条件作出或画出图形,验证自己由观察而得出的结论，符合循序渐进，由感性到理性的认知规律。)

(2)    学生利用准备好的模型动手实验,小组讨论,填写表格.

要求填写出重叠部分图形处于不同的形状时所对应的t的取值范围.

表格如下:

(以小组讨论的形式共同探讨填写表格，使学生在教学活动中学会合作与沟通,培养了学生探究问题的能力, 充分发挥学生的主动性,积极性和首创精神,最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的。)

(3)    教师请学生发言公布自己的实验结果,并利用电脑相应演示不同时间下的图形的形状进行矫正,由此使学生深入理解题意,为下面的教学活动做好铺垫.

(4)    师生共同探讨不同状态下图形的面积s和时间t的函数解析式.问题1,2是由一般到特殊,而问题3求最值是从一般到特殊,通过归纳和类比最终体会质点运动变化探索性问题的解决规律.

(而重叠图形面积的求法主要是运用了 “割补法”,利用电脑动态演示,便于学生分析变换图形后各要素之间的关系,联想到不规则图形的面积的求法.同时本例还要求学生通过观察,比较,分析图形的变化,从而运用分类思想对不同情况下的t值所在的范围进行讨论,加强了学生的转化能力，渗透了数学建模思想和函数思想)

小结:

    例1是质点在运动，例2是直线在运动，本题是三角形在运动，由点到线再到面，而后两者的变化都是由质点的运动变化而引起的，解决的思路也是要动静结合，用辨证的思路来思考解决问题。

(深入揭示了物体的运动都是由质点的运动而引起的,从而将这三个例题所代表的质点运动探索性问题的不同类型进行了统一，从而将本节课的知识条理化,有助于突出重点和突破难点.)

1.5巩固提高,突出重点

课堂练习1：

如图，已知在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米。点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度运动，点Q从点B向点C以2厘米/秒的速度运动。如果P,Q分别从A,B同时出发，设S表示三角形的面积,x表示运动时间（x>0）                                       

求(1)几秒后△PBQ的面积等于8厘米 ；      

(2)写出 与x的函数关系式；

(3)求出 最小值和 的最大值，                   

并说明理由。

课堂练习2:

如图:已知，AB是⊙O的直径，C在⊙O          

的半径AO能够运动，PC⊥AB，交⊙O              

于E,。PT是⊙O的切线

（T为切点），PC=25。

求(1)当CE是⊙O的半径时，PT=2,    

求⊙O的半径。

(2)    当 ,写出y关于

x的函数关系式

(3)△PTC是否能成为以PC为斜边的等腰直角三角形？

若能，求出△PTC的面积。若不能，说明理由。

（电脑呈现图形，学生操作，独立解题。利用电脑把运动过程设计成动态过程，变抽象为直观。题目设计体现分层教学思想，面向全体学生，并培养学生思维的发散性和深刻性，使其具有良好的思维品质。）

1.6课堂小结,布置作业

先引导学生总结,之后教师归纳:

1.       质点运动变化探索性问题的概念

2.       质点运动变化探索性问题的类型

3.  质点运动变化探索性问题的规律

(适度的总结不仅使知识条理化，清晰化，而且使学生对知识的掌握上升为一种能力，并纳入已有的认知结构，利于知识发生迁移，成为新的知识的生长点和固着点。)

作业布置：

1．  复习本节课讲义

2．